Capítulo 3.2.1

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Exemplo: Taxas de Crescimento

A relação entre duas medições da mesma quantidade feitas em diferentes momentos é frequentemente expressa como uma taxa de crescimento. Por exemplo, o governo federal dos Estados Unidos empregava 2.766.000 pessoas em 2002 e 2.814.000 pessoas em 2012. Para calcular uma taxa de crescimento, primeiro devemos decidir qual valor tratar como o inicial. Para valores ao longo do tempo, o valor mais antigo é uma escolha natural. Em seguida, dividimos a diferença entre o alterado e o inicial pelo inicial.

inicial = 2766000
alterado = 2814000
(alterado - inicial) / inicial

Out[1]:

0.01735357917570499

Também é típico subtrair um do quociente das duas medições, o que gera o mesmo valor.

(alterado/inicial) - 1

Out[2]:

0.017353579175704903

Este valor é a taxa de crescimento ao longo de 10 anos. Uma propriedade útil das taxas de crescimento é que elas não mudam mesmo que os valores sejam expressos em unidades diferentes. Portanto, por exemplo, podemos expressar a mesma relação entre milhares de pessoas em 2002 e 2012.

inicial = 2766
alterado = 2814
(alterado/inicial) - 1

Out[3]:

0.017353579175704903

Em 10 anos, o número de funcionários do governo federal dos EUA aumentou apenas 1,74%. Nesse tempo, os gastos totais do governo federal dos EUA aumentaram de \$2,37 trilhões para \$3,38 trilhões em 2012.

inicial = 2.37
alterado = 3.38
(alterado/inicial) - 1

Out[4]:

0.4261603375527425

Um aumento de 42,6% no orçamento federal é muito maior do que o aumento de 1,74% no número de funcionários federais. Na verdade, o número de funcionários federais cresceu muito mais lentamente do que a população dos Estados Unidos, que aumentou 9,21% no mesmo período de tempo, passando de 287,6 milhões de pessoas em 2002 para 314,1 milhões em 2012.

inicial = 287.6
alterado = 314.1
(alterado/inicial) - 1

Out[5]:

0.09214186369958277

Uma taxa de crescimento pode ser negativa, representando uma diminuição em algum valor. Por exemplo, o número de empregos na indústria nos EUA diminuiu de 15,3 milhões em 2002 para 11,9 milhões em 2012, uma taxa de crescimento de -22,2%.

inicial = 15.3
alterado = 11.9
(alterado/inicial) - 1

Out[6]:

-0.2222222222222222

Uma taxa de crescimento anual é uma taxa de crescimento de alguma quantidade ao longo de um único ano. Uma taxa de crescimento anual de 0,035, acumulada a cada ano por 10 anos, dá uma taxa de crescimento de 10 anos muito maior de 0,41 (ou 41%).

1.035 * 1.035 * 1.035 * 1.035 * 1.035 * 1.035 * 1.035 * 1.035 * 1.035 * 1.035 - 1

Out[7]:

0.410598760621121

Essa mesma computação pode ser expressa usando nomes e expoentes.

taxa_crescimento_anual = 0.035
taxa_crescimento_dez_anos = (1 + taxa_crescimento_anual) ** 10 - 1
taxa_crescimento_dez_anos

Out[8]:

0.410598760621121

Da mesma forma, uma taxa de crescimento de 10 anos pode ser usada para calcular uma taxa de crescimento anual equivalente. Abaixo, t é o número de anos que se passaram entre as medições. O seguinte calcula a taxa de crescimento anual dos gastos federais nos últimos 10 anos.

inicial = 2.37
alterado = 3.38
t = 10
(alterado/inicial) ** (1/t) - 1

Out[9]:

0.03613617208346853

O crescimento total ao longo de 10 anos é equivalente a um aumento de 3,6% ao ano.

Em resumo, uma taxa de crescimento g é usada para descrever o tamanho relativo de um valor inicial e um valor alterado após algum tempo t. Para calcular $alterado$, aplique a taxa de crescimento g repetidamente, t vezes usando exponenciação.

inicial * (1 + g) ** t

Para calcular g, eleve o crescimento total à potência de 1/t e subtraia um.

(alterado/inicial) ** (1/t) - 1

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